有界。正弦函數sinx滿足:對任意實數x,|sinx|≤1。所以,|sin(1/x)|≤1。有界函數并不一定是連續的。根據定義,?在D上有上(下)界,則意味著值域?(D)是一個有上(下)界的數集。
|f(x)|=|sin(1/x)|<=1,所以是有界的。
有界函數乘以無窮小=無窮小,所以后面這個函數趨向0。
|xsin(1/x)|<=|x|(因為|sin(1/x)|<=1),而|x|極限為0,那么前面這個也為0。
若存在兩個常數m和M,使函數y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D 。則稱函數y=f(x)在D有界,其中m是它的下界,M是它的上界。
關于函數的有界性.應注意以下兩點:
(1)函數在某區間上不是有界就是無界,二者必屬其一;
(2)從幾何學的角度很容易判別一個函數是否有界(見圖2).如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函數的圖形介于它們之間,那么函數一定是無界的。
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