(-1)^n/n收斂。∑(-1)^n?1/n本身是收斂的,這可由萊布尼茨判別法得到:an=1/n是一個單調遞減的數列;an的極限為0;然而,其通項的絕對值組成的級數卻是發散的。
定義方式與數列收斂類似。柯西收斂準則:關于函數f(x)在點x0處的收斂定義。對于任意實數b>0,存在c>0,對任意x1,x2滿足0<|x1-x0| 收斂的定義方式很好的體現了數學分析的精神實質。 如果給定一個定義在區間i上的函數列,u1(x), u2(x) ,u3(x)……至un(x)……. 則由這函數列構成的表達式u1(x)+u2(x)+u3(x)+……+un(x)+……⑴稱為定義在區間i上的(函數項)無窮級數,簡稱(函數項)級數 對于每一個確定的值X0∈I,函數項級數 ⑴ 成為常數項級數u1(x0)+u2(x0)+u3(x0)+……+un(x0)+.... (2) 這個級數可能收斂也可能發散。如果級數(2)發散,就稱點x0是函數項級數(1)的發散點。函數項級數(1)的收斂點的全體稱為他的收斂域 ,發散點的全體稱為他的發散域 對應于收斂域內任意一個數x,函數項級數稱為一收斂的常數項 級數 ,因而有一確定的和s。這樣,在收斂域上 ,函數項級數的和是x的函數S(x),通常稱s(x)為函數項級數的和函數,這函數的定義域就是級數的收斂域,并寫成S(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+……+un(x)+……把函數項級數 ⑴ 的前n項部分和 記作Sn(x),則在收斂域上有lim n→∞Sn(x)=S(x) 記rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函數級數項的余項 (當然,只有x在收斂域上rn(x)才有意義,并有lim n→∞rn (x)=0
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