行列式的一個重要性質,設D1=|aij|,D2=|bij|是數域P上的兩個n階行列式,則D1與D2的乘積D1D2=|cij|,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+……+ainbnj(i,j=1,2,…,n),即乘積D1D2中的第i行、第j列的元素cij為D1的第i行元素與D2的第j列對應元素乘積的和。此相乘規則簡稱行乘列。
①行列式A中某行(或列)用同一數k乘,其結果等于kA。
②行列式A等于其轉置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。
③若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個行列式的和,這兩個行列式的第i行(或列),一個是b1,b2,…,bn;另一個是с1,с2,…,сn;其余各行(或列)上的元與|αij|的完全一樣。
④行列式A中兩行(或列)互換,其結果等于-A。⑤把行列式A的某行(或列)中各元同乘一數后加到另一行(或列)中各對應元上,結果仍然是A。
乘法結合律:(AB)C=A(BC)
乘法左分配律:(A+B)C=AC+BC
乘法右分配律:C(A+B)=CA+CB
對數乘的結合性k(AB)=(kA)B=A(kB)
轉置(AB)T=BTAT
矩陣乘法在以下兩種情況下滿足交換律。
AA=AA,A和伴隨矩陣相乘滿足交換律。
AE=EA,A和單位矩陣或數量矩陣滿足交換律。
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