函數有界性的定義

定義：若存在兩個常數m和M，使函數y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D 。 則稱函數y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。函數在某區間上不是有界就是無界，二者必屬其一。

設函數f(x)的定義域為D，f(x)在集合D上有定義。如果存在數K1，使得 f(x)≤K1對任意x∈D都成立，則稱函數f(x)在D上有上界。反之，如果存在數字K2，使得 f(x)≥K2對任意x∈D都成立，則稱函數f(x)在D上有下界，而K2稱為函數f(x)在D上的一個下界。

如果存在正數M，使得 |f(x)|≤M 對任意x∈D都成立，則稱函數在D上有界。如果這樣的M不存在，就稱函數f(x)在D上無界；等價于，無論對于任何正數M，總存在x1屬于X，使得|f(x1)|>M，那么函數f(x)在X上無界。此外，函數f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界也有下界。