余式定理和因式定理的概念

一、余式定理和因式定理的概念

1、余式定理

余式定理是指一個多項式$P(x)$除以一線性多項式$x-a$的余式是$R(x)$。

我們可以一般化余數定理。如果$frac{P(x)}{M(x)}$的商式是$Q(x)$、余式是$R(x)$，那么$P(x)=$$M(x)Q(x)+$$R(x)$。其中$R(x)$的次數會小于$M(x)$的次數。

2、因式定理

在代數中，因式定理是關于一個多項式的因式和零點的定理。這是一個余式定理的特殊情形。因式定理指出，一個多項式$f(x)$有一個因式$(ax-b)$當且僅當$fleft(frac{a} ight)=0$。

3、多項式的因式分解

因式定理普遍應用于找到一個多項式的因式或多項式方程的根的兩類問題。從定理的推論結果，這些問題基本上是等價的。

若多項式中已知一個或數個零點，因式定理也可以移除多項式中已知零點的部分，變成一個階數較低的多項式，其零點即為原多項式中剩下的零點，以簡化多項式求根的過程。方法如下：

（1）先設法找出多項式$f$的一個零點$a$。

（2）利用因式定理確認$(x-a)$是多項式$f(x)$的因式。

（3）計算多項式$g(x)=frac{f(x)}{x-a}$。

（4）$f(x)=0$中，所有滿足$x≠a$的根$x$都是方程式$g(x)=0$的根。因為$g(x)$的多項式階數較$f(x)$要小。因此要找出多項式$g$的零點可能會比較簡單。

（5）欲使$A=BQ+R$成立，就令除式$BQ=0$，則被除式$A=R$能使此方程式成立則被除式=（商式）（除式）+余式。

二、余式定理的相關例題

多項式$f(x)$除以$x+3$余1，除以$x+5$余3，則多項式$f(x)$除以$(x+3)$$(x+5)$所得的余式為

A．$-x-2$ B．$3x+4$

C．$x-2$ D．$2x+4$

答案：A

解析：設$f(x)=$$(x+3)$$(x+5)$$q(x)+$$(ax+b)$由已知可知，$f(x)=$$(x+3)$$q_1(x)+1$，即$f(-3)=1$，$f(x)=(x+5)q_1(x)+3$， 即$f(-5)=3$，因此$egin{cases}f(-3)=-3a+b=1,\f(-5)=-5a+b=3,end{cases}$解得$egin{cases}a=-1,\b=-2,end{cases}$即余式為$-x-2$。故選A。